Geometría algebraica

Geometría algebraica
La Geometría algebraica es una rama de las matemáticas que, como sugiere su nombre, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno. Podemos decir que la materia en cuestión comienza cuando abandonamos la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el encontrar alguna solución, lo cual lleva a las "aguas más profundas" del mundo de las matemáticas, tanto conceptual como técnicamente.

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Estudio de las propiedades geométricas de las soluciones a las ecuaciones polinomiales, incluyendo soluciones para más de tres dimensiones (las soluciones para dos y tres dimensiones son cubiertas por la geometría analítica plana y sólida respectivamente).

La geometría algebraica nació de la geometría analítica después de 1850 cuando la topología, el álgebra y el análisis del álgebra compleja se usaban para el estudio de curvas algebraicas. Una curva algebraica C es el gráfico de una ecuación f(x, y) = 0 donde f(x, y) es un polinomio, en dos variables complejas, que no pueden ser factorizadas. Las curvas se clasifican con un entero no negativo –denominado género, g– que se puede calcular a partir de su polinomio. La ecuación f(x, y) = 0 determina y como una función de x en todos salvo algunos puntos de C. Por cuanto x toma valores de los números complejos, los cuales tienen dos dimensiones en el campo de los números reales, la curva C tiene dos dimensiones sobre el campo de números reales en casi todos sus puntos. C se asemeja a una esfera hueca con una cantidad g de asas huecas adheridas y un número finito de puntos agregados; una esfera tiene género 0, un toro tiene género 1 y así sucesivamente. El teorema de Riemann-Roch utiliza integrales a lo largo de C para caracterizar g en forma analítica. Una transformación birracional empareja los puntos en dos curvas por medio de mapas dados en ambas direcciones por funciones racionales de las coordenadas. Las transformaciones birracionales conservan las propiedades intrínsecas de las curvas, como su género, pero dan libertad a los geómetras para simplificar y clasificar las curvas eliminando las singularidades (puntos problemáticos). Una curva algebraica se generaliza a una variedad, la cual es el conjunto de soluciones de r ecuaciones polinomiales en n variables complejas. En general, la diferencia n-r es la dimensión de la variedad –es decir, el número de parámetros complejos independientes cerca de la mayoría de los puntos–. Por ejemplo, las curvas tienen dimensión (compleja) uno y las superficies tienen dimensión (compleja) dos. El matemático francés Alexandre Grothendieck revolucionó la geometría algebraica en la década de 1950 al generalizar las variedades a esquemas y extender el alcance del teorema de Riemann-Roch. La geometría aritmética combina la geometría algebraica y la teoría de los números para estudiar soluciones enteras de ecuaciones polinomiales. Es la base de la demostración del último teorema de Fermat por el matemático británico Andrew Wiles en 1995.

Enciclopedia Universal. 2012.

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